Л. В. Ильков

Памяти Александра Битмана

Обычно место игрока в таблице шахматного турнира определяется в соответствии с количеством набранных им очков, и только при равенстве очков у нескольких игроков применяются некоторые дополнительные критерии для распределения мест в этой группе участников. Однако в турнирной таблице, заполненной лишь частично (например, таблица турнира по «швейцарской» системе), количество очков не всегда соответствует силе игрока.
Рассмотрим пример турнира.

В этом турнире все участники сыграли по 3 партии. Места в таблице распределены в соответствии с количеством набранных ими очков. Ничьих в таблице нет, и мы можем построить ориентированный граф турнира. Вершины графа – игроки, ребра – партии, стрелки направлены на проигравших.

Граф показывает, что игроки C и D должны обменяться местами: 3-е место принадлежит D, а 4-е – C. Дело в том, что C и D получили свои очки в борьбе с разными по силе противниками.
Следует обратить внимание на то, что в исправленной таблице, в отличие от первоначальной, все выигрыши расположены над главной диагональю, а рядом с ней увеличилось количество сыгранных партий – 3 вместо 1. Это признаки «хорошей» таблицы. (Об этом поговорим позже.)

В то же время, в полностью заполненной турнирной таблице распределение мест в соответствии с количеством набранных очков не вызывает возражений – каждый игрок сыграл со всеми остальными; все находятся в равных условиях.

Между тем, имеется процедура определения мест, дающая правильное их распределение в обоих случаях. Присвоим всем игрокам равные начальные рейтинги и будем их пересчитывать, пока они не перестанут изменяться, то есть станут полностью соответствовать результатам. Места распределим в соответствии с полученными «истинными» рейтингами. Некоторые трудности возникают, если в таблице есть игроки, выигравшие или проигравшие все партии (как A, B, E и F в примере). В этом случае рейтинги этих игроков будут постоянно расти или (соответственно) убывать, ибо, согласно формуле Эло, вероятность выигрыша, равная 1, достигается только при бесконечно большой разности рейтингов:

Однако, и в этом случае распределение мест в некоторый момент становится правильным и перестает изменяться.

Хорошая математическая задача: Доказать, что в полностью заполненной таблице «истинные» рейтинги игроков зависят только от количества набранных ими очков. Точнее, нужно говорить о разности рейтингов, поскольку рейтинги инвариантны при сдвиге – в формулу Эло входит разность рейтингов.

Мне представляется, что способ распределения мест по «истинным» рейтингам в турнирной таблице для N игроков, где сыграны не все N-1 туров (окончательные или промежуточные результаты «швейцарки»), дает более справедливые результаты для игроков, игравших во всех турах. Последнее ограничение необходимо, иначе, например, пришлось бы объявить по-бедителем турнира игрока, выбывшего из турнира после 1-го тура, но выигравшего в 1-м туре у игрока, оказавшегося в дальнейшем сильнейшим.
Изучим предложенный способ распределения мест на примере турнира по «швейцарской системе» – «Кубок А. Е. Карпова», проведённого в Гатчине в декабре 2012 года. В этом турнире участвовало 22 шахматиста, было проведено 7 туров. Победители набрали по 5.5 очков, аутсайдеры по 1.5.

Организаторы распределили места традиционным способом – по очкам и коэффициентам Бухгольца.

Я присвоил всем начальный рейтинг 2000; после итераций рейтинги оказались в диапазоне 1344 – 2606, Сравним распределение мест по рейтингу с официальным. Первые 5, последние 2, и еще 3 места внутри таблицы совпали с официальным распределением (очки + Бухгольц). Это 10 мест из 22. Все остальные, кроме одного, отличаются на 1-2 позиции. И только Беляев поднялся у меня вверх на 6 позиций, с 2.5 очками вклинился среди набравших 3.5.

Сравним очки Беляева с очками двух других участников, соседей Беляева по таблицам с разным распределением мест. Это Павлов, стоявший выше Беляева в официальной таблице, и Маринин, которого Беляев оттеснил вниз в рейтинговой таблице. Маринин возглавляет группу игроков, обойдённых Беляевым, а Павлов замыкает эту группу.

Павлов набрал 3 очка, на 0.5 больше Беляева, но 2.5 очка он получил от слабых игроков. Все очки Беляева от игроков, стоящих в таблице выше его.
Маринин имеет 3.5 очка, но 3 из них он получил от игроков, стоящих в таблице гораздо ниже его, а у Беляева от таких игроков лишь 1 очко.
Таким образом, место Беляева в таблице выше Маринина и, тем более, выше Павлова имеет некоторое обоснование.

Можно предложить 2 интуитивных критерия хорошего распределения мест в таблице.

1. В «хорошей» таблице больше побед над главной диагональю.

2. В «хорошей» таблице больше результатов вблизи главной диагонали. (Больше игр между близкими по силам противниками. Это критерий не только хорошего распределения мест, но и хорошего подбора пар в сыгранных турах.)

По обоим критериям исправленная таблица «Турнира 6» в начале статьи лучше исходной.

Сравним теперь таблицы «Бухгольц» и «Рейтинг» турнира «Кубок А. Е. Карпова».

По 1-му критерию соотношение побед над и под диагональю в обеих таблицах одинаково – 64:13.

Для 2-го критерия все результаты таблицы (1, 0.5, 0) суммировались с разными весами: от 1 в углах, далёких от главной диагонали, до 21 на соседних диагоналях. Здесь оценка по рейтингу оказалась лучше: «Бухгольц» 1249, «Рейтинг» 1283. В этом способе ничья и победная партия ценятся одинаково (0.5+0.5 = 1+0).

Но хотелось ничьим (их в турнире было 14) дать больший вес из соображений, что рядом с главной диагональю в хорошей таблице прежде всего должны быть ничьи, а победы и поражения – поодаль. Для этого все 0.5 в таблицах были заменены на 1, и в повторном суммировании опять победил «Рейтинг»: «Бухгольц» 1473, «Рейтинг» 1527.

Подведём итоги.

Определение мест по очкам, в отличие от определения по рейтингу, в неполной таблице иногда даёт ошибочные результаты. Но и при отсутствии ошибок таблица распределения по очкам «хуже» рейтинговой таблицы. В турнирах, проводимых по «швейцарской системе», следует после каждого тура определять места по рейтингу для определения пар следующего тура и для подведения итогов.

Для полной таблицы определение мест по очкам и по рейтингу совпадают (доказать!).

Недостаток рейтингового метода – итерационный процесс, необходимый для нахождения истинных рейтингов игроков. Но в наше компьютерное время этот недостаток легко преодолим.

 

  Дата публикации: 2014-04-02 21:35:20
  Прочитано: 18597
  Текущая оценка: 12  Оценить